Algbre

Faire de l'Algbre, c'est essentiellement calculer, c'est- -dire effectuer, sur des lments d'un ensemble, des (< oprations algbriques n, dont l'exemple le plus connu est fourni par les (< quatre rgles )) de l'arithmtique lmentaire. Ce n'est pas ici le lieu de retracer le lent processus d'abstraction progressive par lequel la notion d'opration algbrique, d'abord restreinte aux entiers naturels et aux grandeurs mesurables, a peu peu largi son domaine, mesure que se gnralisait paralllement la notion de (( nombre O, jusqu' ce que, dpassant cette dernire, elle en vnt s'appliquer des lments qui n'avaient plus aucun caractre (( numrique )>, par exemple aux permutations d'un - semble (voir Note historique de chap. 1). C'est sans doute la possibilit de ces extensions successives, dans lesquelles la forme des calculs restait la mme, alors que la nature des tres mathmatiques soumis ces calculs variait considrab- ment, qui a permis de dgager peu peu le principe directeur des mat- matiques modernes, savoir que les tres mathmatiques, en eux-mmes, - portent peu: ce qui compte, ce sont leurs relations (voir Livre 1). Il est certain, en tout cas, que l'Algbre a atteint ce niveau d'abstraction bien avant les autres parties de la Mathmatique, et il y a longtemps dj qu'on s'est accoutum la considrer comme l'tude des oprations algbriques, indpendamment des tres mathmatiques auxquels elles sont susceptibles de s'appliquer.