Algebra aller Anfang ist leicht

"Gebranntes Kind scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Bchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, da der Einteilung aller Brche in Klassen quotientengleicher Brche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen quivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter essanten Analogien und berraschenden Zusammenhnge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer den uns ermglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausfhrung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit man rechnet, sondern vielmehr wie man rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln gengen sollen. Dies fhrt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle fr diese Struktur.