Calcul Symbolique Non Commutatif

Il est bien tabli que le calcul formel permet de vrifier des conjectures, des dmonstrations, des formules longues et pnibles. L'innovation est qu'avec quelques oprations lmentaires sur des suites de symboles 0 et 1, on capte aussi, de faon exacte, de nouvelles formules, identits remarquables et conjectures insolites. Dans ce travail, nous illustrons cette dernire assertion en proposant des algorithmes via la combinatoire des mots de Lyndon. Nous montrons d'abord que l'algbre des polylogarithmes est isomorphe celle du mlange et nous en tirons des consquences concernant le calcul effectif de la monodromie, du comportement asymptotique, des relations algbriques et des quations fonctionnelles. Nous examinons ensuite le rapport entre les sries gnratrices commutatives des polylogarithmes et des fonctions hypergomtriques pour obtenir diverses sommations. La srie gnratrice non commutative des polylogarithmes nous mne au calcul de l'associateur de Drinfel'd mis sous forme factorise. Nous appliquons finalement ces tudes aux quations intgro-diffrentielles et l'obtention d'un systme de rcriture des relations polynomiales entre les sommes d'Euler-Zagier.