Constante Systolique Et Vari t s Plates

Dans cette thse on tudie la gomtrie systolique des varits de Bieberbach. La systole d'une varit riemannienne compacte et non simplement connexe est l'infimum des longueurs des courbes fermes non contractiles; le rapport systolique est le quotient de la systole la puissance la dimension par le volume. Un rsultat fondamental de Gromov assure que si la varit est essentielle, le quotient systolique reste fini si la mtrique varie. Les surfaces compactes autres que la sphre sont essentielles, et le thorme de Gromov est une gnralisation profonde des mmes rsultats pour le tore de dimension 2 (C. Loewner), pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces varits la constante systolique est bien connu mais en dimension suprieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous intressons aux varits de Bieberbach de dimension 3, c'est dire aux varits compactes de dimension 3 qui portent une mtrique riemannienne plate, qui ne sont pas des tores et dmontrons que les mtriques plates ne sont pas optimales pour le rapport systolique.