Die endliche Fourier- und Walsh-Transformation mit einer Einfhrung in die Bildverarbeitung

Die diskrete Fourier-Transformation als Hilfsmittel ist weit verbreitet. Auf modernen Rechenanlagen wird sie sehr effizient eingesetzt und ist in wichtigen Anwendungsgebieten aus Naturwissenschaft und Technik nicht mehr wegzudenken. Bei der endlichen Fourier-Analyse geht man davon aus, daB das vorliegende Signal als eine Oberlagerung von harmonischen Sinus- und Kosinusschwingun- gen mit unterschiedlichen Frequenzen darstellbar ist. Die endliche Fourier- Transformation ordnet diesem Signal bestimmte Koeffizienten zu, namlich die Amplituden der einzelnen harmonischen Schwingungen. Anhand dieser Koeffi- zienten kann man zum Beispiel sehen, wie stark bestimmte Schwingungen in dem Signal vertreten sind. Die Betrage dieser Koeffizienten lassen sich graphisch darstellen; man erhalt das Amplituden-Spektrum, das zum Beispiel so aussehen kann: JU, v I -- - Ih- -'---'- Vz v3 Auf der Abszisse sind die Frequenzen v, die ganzzahligen Vielfachen einer bestimmten Grundfrequenz, aufgetragen, und die Ordinatenwerte geben die Am- plituden der Schwingungen mit den entsprechenden Frequenzen in dem analysier- ten Signal wieder. Von Interesse sind haufig diejenigen harmonischen Schwin- gungen, die besonders stark in dem analysierten Signal vertreten sind. 1m obigen Beispiel ist dies die Schwingung mit der Frequenz vI; etwas mehr be- deutend als die Ubrigen Schwingungen sind aber auch die beiden mit den gegen- Uber vI niedrigeren Frequenzen v2 und v3 und die beiden mit den gegen- Uber vI hoheren Frequenzen v4 und v . Der Frequenz vI kommt haufig 5 besondere Bedeutung zu, da die bei weitem dominierende Schwingung in dem Signal diese Frequenz hat. So kann es sich dabei urn die Resonanzfrequenz oder Eigenfrequenz handeln.