Grundstrukturen der Analysis II

Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei neren als normierten Rumen bentigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfllen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel hherer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung fr Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t (x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten regel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, da (Dt, Dg 0 t> in x und y in (Dt, Dg 0 t> (x) differenzierbar ist. Die Forderung, da y differenzierbar ist, erweist sich als sehr einschrnkend. Verlangt man, da die Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, so ist diese Forderung in Bezug auf Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all gemeinen nicht erfllt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, da die Vektorraumtopologien so beschaffen sind, da im Falle X = R oder C die natr lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X, Z) Iso morphien sind.