Hyperbolische Strukturen in Kreisinversionsfraktalen

Diplomarbeit aus dem Jahr 2007 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,3, Technische Universitt Mnchen (Fakultt fr Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: In den 70er Jahren fhrte Benot Mandelbrot den Begriff Fraktal ob der "gebrochenen Dimension" dieser Gebilde ein. Allerdings hat sich bis heute noch keine einheitliche Definition durchgesetzt, die alle Objekte, die klarerweise als Fraktale angesehen werden sollten, umfasst. Es wird am hufigsten verlangt, dass die fraktale Dimension - oftmals die Hausdorff-Dimension - eines Fraktals grer ist als seine topologische Dimension. Zudem wird Selbsthnlichkeit beziehungsweise Skaleninvarianz gefordert.

Fraktale knnen auf unterschiedliche Weise erzeugt werden. Es besteht jedoch immer die Notwendigkeit, zwischen kurzer Rechenzeit und detailgenauer Darstellung abzuwgen. Ein exaktes Verstndnis fr die Struktur des jeweiligen Fraktals ermglicht es, beides zu vereinen.

In der ersten Abbildung der Arbeit ist ein Fraktal zu sehen, das durch Kreisinversionen an acht symmetrisch angeordneten Kreisen entsteht. Das sichtbare fraktale Muster ist eine Approximation der Grenzpunkte des durch die Kreisinversionen definierten iterierten Funktionensystems. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wird ein Programm entwickelt, das es ermglicht, direkt die Grenzpunkte - das heit den Orbit eines bestimmten Startkreises unter der Transformationsgruppe - zu erzeugen. Dies soll nicht zufllig, sondern exakt bis zu einer festgelegten Genauigkeit erfolgen. Die Genauigkeit bezieht sich dabei auf die Gre der Kreise, die die Grenzpunktmenge bilden. Das im Fraktal entstehende Muster verndert sich sehr stark in Abhngigkeit von dem Radius des mittig liegenden Kreises. Wie entsprechende spezielle Radien numerisch bestimmt werden knnen und in welchen Situationen der Orbit disjunkt ist, ist wesentlicher Inhalt dieser Arbeit.

In Kapitel 2 werden zunchst die mathematischen Grundlagen des projektiven Raumes CP1 sowie der Kreisinversion er