Integralgleichungen

1.1 Integralgleichungen Eine spezielle Integralgleichung ist aus der Analyse gewhnlicher Differentialgleichungen wohlbekannt. Das Anfangswertproblem (1.1.1} y'(x)=f(x,y) frx;:,x , 0 wird durch Integration von x bis
x in die Form 0 X (1.1.2} y(x)=yo + 1 f(~.y(~JJd; 0 gebracht, da die Integraldarstellung (2} fr den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lsung der Differentialgleichung (1} besser geeignet ist. Allgemein ist eine
Integralgleichung eine Gleichung fr eine unbekannte Funktion {, wobei f u.a. im Integranden eines Integrals auftritt. Die Integralgleichungen werden weiterhin nach Merkmalen unterschieden, die im folgenden verbal
charakterisiert werden. Fredholmsche Integralgleichung: Das Integral erstreckt sich ber ein 1 festes Intervall des R oder einen allgemeineren festen Integrationsbereich (Teilmenge des Rd, Kurve, Oberflche etc.l. Voltarrasche
Integralgleichung: Das Integral erstreckt sich ber einen mit der Variablen x sich verndernden Bereich (vgl. (2}). Unabhngig von dieser Kennzeichnung ist die folgende Einteilung: Integralgleichung 1. Art: Die unbekannte
Funktion kommt nur im Integranden vor. Integralgleichung 2. Art: Die unbekannte Funktion erscheint auch auerhalb des Integranden. Wie bei Differentialgleichungen unterscheidet man lineare Integralgleichungen: Die Gleichung
ist linear in der unbe kannten Funktion. Im sonstigen Fall spricht man von einer nichtlinearen Integralgleichung. Eine weitere Unterteilung ist von den vorhergehenden Charak terisierungen unabhngig und betrifft die
Integralbildung: regulre Integralgleichung: Das Integral existiert als eigentliches Integral. schwach singuire Integralgleichung: Das Integral existiert als uneigentliches Integral.