Mersenne- und Fermat-Primzahlen oder auf der Suche nach groen Primzahlen

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2010 im Fachbereich Mathematik - Algebra, Universitt Hildesheim (Stiftung), Sprache: Deutsch, Abstract: Wie findet man Primzahlen? Schon in der spteren Schulzeit hat mich diese Frage interessiert, da es anscheinend kein effizientes Verfahren hierzu gibt. Es scheint stattdessen sogar, als sei die Verteilung von Primzahlen zufllig auf dem Zahlenstrahl der natrlichen Zahlen verstreut, wobei diese bei zunehmender Gre rarer werden. Einige Verfahren existieren jedoch, mit deren Hilfe sich Primzahlen aufspren lassen. Zwar gibt es bis zur bis heute grten gefundenen Primzahl vermutlich noch weitere, kleinere, die sich noch nicht offenbart haben und zu denen es bislang keinen effizienten mathematischen Zugang zum Aufspren gibt, doch knnen einige auf schnellem Wege dennoch gefunden werden. In dieser Arbeit sollen vorrangig diese effizienten Methoden beschrieben werden, mit denen sich gezielt groe Primzahlen von besonderer Bauart finden lassen. Tieferen Einblick hierzu bekam ich durch das fachwissenschaftliche Seminar zur Kryptographie, in dem ich mich mit zwei solcher Verfahren intensiv beschftigt habe. Neben Fermat entwickelte insbesondere Mersenne seinerzeit einen einfachen Weg, groe Primzahlen zu bestimmen. Kurzbiographien zu den beiden Mathematikern sind dem folgenden Kapitel zu entnehmen. Anschlieend werde ich mich auf diese beiden Verfahren beschrnken und daher auf die sogenannten Mersenne- und Fermat-Zahlen eingehen, welche unter bestimmten Voraussetzungen Primzahlen - wenn auch nicht smtliche - liefern. Entsprechende Stze und Beweise finden sich in den Kapiteln 4.3 und 4.4 wieder, wobei sich ersteres speziell mit Mersenne-Zahlen, letzteres mit den Fermat-Zahlen befasst. Um die Beweisfhrung verstndlicher zu gestalten, habe ich am Ende dieser Arbeit einen ausfhrlichen Anhang erstellt. Dabei entscheide ich mich bewusst dagegen, die im Anhang befindlichen Zwischenschritte direkt in die Beweise zu integrieren, um einen angene