Moderne Algebraische Geometrie

Resultantenideale einen neuen, der Idealtheorie naher stehenden Gesichts- punkt zur Geltung gebracht; durch eine gewisse Verfeinerung des geometrischen Begriffes "algebraische Mannigfaltigkeit" wird auch erreicht, da. f3 diese geometrischen Gebilde den Polynomidealen um- kehrbar eindeutig zugeordnet werden konnen. Dies setzt aber eine Entscheidung iiber die Definition des Multi- plizitatsbegriffes voraus. Ich habe von vornherein den idealtheoretischen Multiplizitatsbegriff zugrundegelegt, weil dieser der einfachste, natiir- lichste und allgemeingiiltige ist, wahrend der von Severi und v. d. Waer- &n eingefiihrte Multiplizitatsbegriff einserseits, wie oben angedeutet, nicht allgemein anwendbar ist, andererseits auf schwierigen Stetigkeits- iiberlegungen beruht, die an und fiir sich der idealtheoretischen Methode fremd sind und eine Verwendung des Begriffes bei allgemeineren Grund- korpern ausschlie. f3en. Da aber der idealtheoretische Multiplizitats- begriff viel scharfer prazisiert ist, so hat dies zur Folge, da. f3 die Geltung gewisser Satze, insbesondere der Schnittpunktsatze, eingeschrankt werden mu. f3. Jedoch gereicht dies, wie ich bei der Ableitung der Satze iiber Projektionen, Schnitte und Einbettungsraume ( 4) zeige, nur der Sache zum Vorteil, weil dann der genaue Geltungsbereich dieser Satze abgesteckt und die tieferen Ursachen erkannt werden konnen, warum 1 sie in gewissen Fallen nicht gelten. Die letzten drei Paragraphen enthalten viele neue, noch nicht in einem Lehrbuch verarbeitete und teilweise noch gar nicht veroffentlichte Forschungsergebnisse.