Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-Methoden zur Zeitdiskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Mathematik - Sonstiges, Note: 1,3, Technische Universitt Mnchen (Zentrum Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: Die Finite-Elemente-Methode hat ihren Ursprung in den 1950er Jahren, als Ingenieure erstmals die Methoden der Analysis mit der Variationsrechnung der Kontinuumsmechanik
kombinierten. Mitte der 1960er erschienen unabhngig voneinander mehrere Publikationen, die sich mit der Konstruktion und Analysis von Finite-Differenzen-Schemata fr
elliptische Probleme mithilfe von Variationsmethoden beschftigten. Zu nennen sind hier Ca, Demjanovic, Feng, Friedrichs und Keller und Oganesjan und Ruchovets. Aus dem Studium stetiger Approximationsfunktionen entwickelte sich schlielich die Theorie der Finiten Elemente. Allgemeines zur Mathematik der Finiten Elemente fr elliptische Probleme findet sich z.B. bei Babuska und Aziz, Strang und Fix, Ciarlet sowie Brenner und Scott.

Die Entwicklung einer entsprechenden Methode fr
parabolische Probleme begann um 1970, als die Finite-Differenzen-Analysis fr derartige Probleme bereits weit fortgeschritten war. Diese Bachelorarbeit ist das Ergebnis meiner Independent Studies des akademischen Jahres
2014 am Lehrstuhl fr Optimale Steuerung der TU Mnchen. Nach dieser kurzen Einleitung werde ich einen Einblick in die zeitliche Galerkin-Diskretisierungsmethode parabolischer
Differentialgleichungen sowie Theorie und Analysis linearer Probleme geben.

Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt allerdings auf effzienten numerischen Realisierungen des titelgebenden Verfahrens, die im Anschluss an die Theorie prsentiert werden.
Fr weitergehende Fehlerabschtzungen und Stabilittsaussagen der Galerkin-Verfahren fr parabolische Probleme sei auf Thome verwiesen.
Als Standardwerke fr die mathematische Theorie elliptischer und parabolischer Differentialgleichungen mchte ich noch Evans, sowie Lions und Magenes und Friedman nennen.