Quaternionen und andere Zahlbereiche. Was kommt nach den komplexen Zahlen?

Examensarbeit aus dem Jahr 2004 im Fachbereich Mathematik - Zahlentheorie, Note: 1,3, Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen (Lehrstuhl A fr Mathematik), 23 Quellen im Literaturverzeichnis, Sprache: Deutsch, Anmerkungen: In dieser Arbeit wird der Frage nachgegangen, was fr "sinnvolle" Zahlbereiche noch nach den komplexen Zahlen existieren (Quaternionen und Oktonionen). Schwerpunkt dabei sind die Beweise des Satzes von Frobenius und Hurwitz. , Abstract: Das traditionelle Zahlensystem gilt als wichtigste Grundlage in der Mathematik. Der Aufbau dieses Zahlensystems beginnt seit dem Ende des 19. Jahrhunderts bei den natrlichen Zahlen. Diese werden dann schrittweise zu den ganzen, den rationalen, den reellen bis hin zu den komplexen Zahlen erweitert. Die Schulmathematik umfasst im besten Fall das Zahlensystem bis hin zu den komplexen Zahlen. In dieser Arbeit wollen wir uns mit der Frage beschftigen, ob es jenseits der komplexen Zahlen noch andere Zahlbereiche zu konstruieren gibt und inwieweit diese noch sinnvoll sind. Diese hyperkomplexen Zahlbereiche werden seit Beginn des 20. Jahrhunderts reelle Algebren genannt.

Mchte man sich analog zu den komplexen Zahlen, die einen zweidimensionalen reellen Vektorraum bilden, hherdimensionale reelle Vektorrume zu hyperkomplexen Zahlbereichen machen, muss man entweder die Endlichkeit der Dimension aufgeben oder aber auf vertraute Krperaxiome wie die der Kommutativitt oder der Assoziativitt oder gar auf die Mglichkeit der Division verzichten. In dieser Arbeit werden wir uns auf die endlichdimensionalen Divisionsalgebren beschrnken. Dies bedeutet, dass wir an der Endlichkeit der Dimension und der Mglichkeit der Division festhalten werden. Sollten wir diese Eigenschaften aufgeben, so wrden wir von einer Masse neuer Zahlbereiche erschlagen werden.

Diese neuen Zahlbereiche werden Eigenschaften aufweisen, die uns auf den ersten Blick merkwrdig vorkommen. Der _Vollstndigkeitssatz_ der reellen Zahlen be