Strukturtheorie der Wahrscheinlichkeitsfelder und -Rume

LEBESGUE hat am Anfang dieses Jahrhunderts den Begriff des Masses eingefuhrt, der eine Erweiterung des alteren Begriffes des Inhalts war. So schuf er die Moeglichkeit, den Definitionsbereich des Inhaltes auf mehr Teilmengen der Zahlengeraden, allgemeiner eines euklidischen Raumes, zu erweitern. Es entstand dann die Frage, ob jede Teilmenge messbar ist. VITALI entdeckte 1905 die Existenz von nicht messbaren Teilmengen der Zahlengeraden. Spater, als man abstrakte Masse auf Mengenkoerpern bzw. Booleringen (Booleschen Algebren) einfuhrte, erhob sich, neben dem Problem der Erweiterung des Definitionsbereiches des abstrakten Masses, auch die Frage, ob man auf einem beliebigen Mengenkoerper bzw. Boolering ein nicht triviales Mass, und zwar mit bestimmten Eigenschaf- ten erklaren kann. Dies ist im allgemeinen nicht moeglich; hier geht wesentlich die Struktur des Mengenkoerpers bzw. des Booleringes in das Problem ein. Diese Frage ist fur die Wahrscheinlichkeitstheorie von besonderer Bedeutung, weil man in dies r Theorie die Zufallsereignisse mit abstrakten Mengen oder mit Elementen eines Booleringes darstellt und die Wahrscheinlichkeit als ein normiertes und in gewissen Fallen strikt positives Mass betrachtet. UEber die Strukturtheorie der Wahr- scheinlichkeitsfelder und -raume sind deshalb in den letzten J ahrzehn- ten viele Untersuchungen angestellt worden. In dem vorliegenden Be- richt haben wir versucht, das Wichtige davon zusammenzustellen. Ein grosser Teil des Berichtes wird den verschiedenen Arten der Unabhan- gigkeit und dem Begriff des cartesischen Produktes gewidmet, Begriffe, die hauptsachlich aus Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie ent- standen sind und eine grosse Rolle bei der Charakterisierung der Struktur der Wahrscheinlichkeitsfelder spielen.