Sur la theorie des equations differentielles lineaires

"INTRODUCTION.En 1866, M. Fuchs a publié un Mémoire fondamental1 sur les fonctions dune va- riable imaginaire définies par une équation différentielle linéaire. M. Tannery a exposé les principes et les résultats de ce travail, en même temps qüil en a agrandi le cadre par des recherches personnelles2. Depuis, M. Tannery a étudié3 en particulier léqua- tion qui, dans la théorie des fonctions elliptiques, relie au module la fonction complète de première espèce.A partir de 1868, époque à laquelle parut un second Mémoire de M. Fuchs, létude des équations différentielles linéaires, devenue classique en Allemagne, y a donné nais- sance à un grand nombre de travaux. M. Fuchs a persévéré, et deux géomètres émi- nents, MM. Thomé et Fröbenius, ont entrepris des recherches intéressantes et profondes sur ce sujet.Jai pensé être utile en appelant lattention sur ces analyses, qui ont leur point de départ dans les découvertes de Cauchy et qui sont la suite naturelle des belles études de M. Puiseux sur les équations algébriques, de MM. Briot et Bouquet sur les équations différentielles du premier ordre. Je me suis donc proposé délucider et de compléter le plus possible ces travaux, en prenant pour base les Mémoires de MM. Thomé et Fröbenius.Dans la première Partie, je rappelle les principes fondamentaux de la théorie des équations différentielles linéaires.La deuxième est consacrée à la définition des intégrales régulières et à leur re- cherche, cette recherche étant fondée sur la notion de lindice caractéristique.Dans la troisième Partie, je définis la fonction caractéristique, la fonction déter- minante, et je ramène la notion de lindice caractéristique à la considération plus naturelle de la fonction déterminante. Puis on introduit les formes normales, les ex- pressions composées, et lon établit une proposition capitale concernant la fonction déterminante dune expression composée de plusieurs formes normales. Enfin, on pose les principes de la réductibilité des équations différentielles linéaires.La quatrième Partie traite de lapplication des notions qui précèdent à létude des intégrales régulières.Dans la cinquième, on construit lexpression différentielle adjointe et lon établit ses importantes propriétés. Léquation adjointe est en rapport intime avec léquation proposée, ce qui conduit à de nouveaux théorèmes concernant les intégrales régulières."