Thories spectrales

Les lments de mathmatique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une prsentation rigoureuse, systmatique et sans prrequis des mathmatiques depuis leurs fondements. Ce second volume, indit, du Livre consacr aux Thories spectrales a pour thme les proprits spectrales des applications linaires. Le chapitre 3 tudie les applications linaires compactes entre espaces vectoriels topologiques et la thorie de la perturbation par addition d'une application linaire compacte, en particulier la thorie de Fredholm. Il se poursuit par la description du spectre d'un endomorphisme compact d'un espace de Banach, notamment les notions de spectre sensible et de spectre essentiel. On y dmontre le thorme de Krein--Rutman. Le chapitre 4 contient les rsultats fondamentaux de la thorie spectrale hilbertienne : oprateurs compacts et nuclaires, endomorphismes normaux, oprateurs partiels normaux. On y trouve galement un expos concis des distributions et distributions tempres. Enfin, le chapitre 5 aborde l'tude des reprsentations unitaires des groupes topologiques (constructions lmentaires, lemme de Schur, reprsentations de carr intgrable modulo le centre, classes de reprsentations irrductibles). On y dveloppe aussi la thorie des fonctions de type positif et on y dmontre le thorme fondamental de Peter--Weyl. Le texte est complt par de nombreux exercices et par une note historique portant sur le contenu des chapitres 1 5.