Der Weierstrasche Produktsatz und die Weierstrasche Sigma-Funktion

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2012 im Fachbereich Mathematik - Allgemeines, Grundlagen, Note: 1,3, Westflische Wilhelms-Universitt Mnster (Mathematisches Institut), Sprache: Deutsch, Abstract: In dieser Arbeit wollen wir uns mit einem Teilgebiet der Funktionentheorie beschftigen. Wir werden uns den unendlichen Produkten, ihren Eigenschaften und ihrer Anwendung widmen.

Schler lernen bereits, wie sie eine dierenzierbare Funktion (in der Schule nur grtenteils reellwertige Polynomfunktionen ab 2. Grades) in ein Produkt ihrer Linearfaktoren zerlegen, sodass ihre Nullstellen aus diesem Produkt direkt ablesbar sind. Doch auch andersherum wird in der Schule gelehrt, wie anhand von vorgegebenen Nullstellen bestimmten Grades eine solche differenzierbare Funktion "gebastelt" werden kann. Diese dort noch sehr simple Theorie wird in der Funktionentheorie oder auch komplexen Analysis auf komplexwertige Funktionen erweitert. Mit ebendiesem Thema werden wir uns in dieser Arbeit beschftigen.

Karl Theodor Wilhelm Weierstra (1815- 1897), ein bedeutsamer Mathematiker aus dem Mnsterland, widmete sich in der zweiten Hlfte des 19. Jahrhunderts der Theorie der Produktentwicklung einer Funktion anhand ihrer Nullstellen. Sein Ergebnis, dass es ganze Funktionen (Definition folgt) mit willkrlich vorgegebenen Nullstellen gibt, vernderte das mathematische Denken der Funktionentheoretiker im 19. Jahrhundert grundlegend. Man konnte mit dieser Erkenntnis auf einmal neue Funktionen "bauen", die im damaligen Funktionenvorrat noch nicht vorgekommen waren.

Der Satz, der das Fundament dieser Theorie von Weierstra darstellt, ist der sogenannte Weierstrasche Produktsatz ber C. Er wird den Mittelpunkt dieser Arbeit darstellen. Wir werden uns in diesem Kapitel grundlegenden Denitionen und Stzen der Funktionentheorie zuwenden. Es soll als knappe (wiederholende) Einfhrung fr den Leser in die Funktionentheorie dienen.
Im anschlieenden zweiten Kapitel werden wir die unendlichen Produkte in
C n