Ma- und Integrationstheorie

In der griechischen Mathematik hat man L~ngen, Fl~chen, Volumina durch das Ausschpfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging man von der Annahme aus, da die Flche
eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenln gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flchenstcken die Flcheninhalte von einfachen Figuren wie Drei ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw . .
Sollte nun die Flche ei ner komplizierteren Figur K, etwa eines Kreises, bestimmt werden, so suchte man zu jeder positiven Zahl e einfache Figuren Ie und Ae mit Ie c K c Ae derart, da der Inhalt der einfachen Figur Ae' Ie
kleiner als e wurde; fand man nun eine Zahl a mit Inhalt(Ie) ~ a ~ Inhalt(Ae) fr alle e>O, so gab man K den Flcheninhalt a. Es ist einfach zu sehen, da dieser Begriff des Flcheninhalts additiv ist, d. h. es gilt fr
disjunkte K und K , fr die man mittels des Ausschpfung2 1 2 prinzipseinen Inhalt bestimmen kann, da K u K einen Inhalt hat 1 2 und gilt. Mit der Przisierung des Grenzwertbegriffs im 19. Jahrhundert konn te diese Idee noch
erfolgreicher benutzt werden. Bei der Definition 2 des RIEMANNschen Inhalts einer Menge Kc R verwendet man zur Appro ximation von innen und auen endliche Vereinidungen von achsenparal - lelen Rechtecken.